统计学习方法：PageRank算法¶
一、引言¶
PageRank是Google搜索引擎的核心算法之一，由Larry Page和Sergey Brin在1990年代末期开发。该算法通过分析网页之间的链接关系，为每个网页分配一个权重值，从而确定网页的重要性。
PageRank的核心思想是：一个网页的重要性不仅取决于有多少网页链接到它，还取决于这些链接来源网页本身的重要性。这可以类比于学术论文的引用机制——一篇被重要论文引用的论文往往也更重要。
二、马尔可夫链基础¶
2.1 随机过程与马尔可夫链¶
随机过程是一族依赖于参数$t$的随机变量$\{X(t), t \in T\}$，其中$T$是参数集合。当$T$是可数集时，称为离散时间随机过程；当$T$是连续区间时，称为连续时间随机过程。
马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有"无记忆性"或"马尔可夫性质"。设$\{X_n, n \geq 0\}$是一个随机过程，若对于任意$n$和状态序列$x_0, x_1, ..., x_{n-1}, x_n$，有
$$ P(X_n = x_n | X_0 = x_0, X_1 = x_1, ..., X_{n-1} = x_{n-1}) = P(X_n = x_n | X_{n-1} = x_{n-1}) $$
则称$\{X_n, n \geq 0\}$为马尔可夫链。
2.2 转移概率与转移矩阵¶
从一个状态转移到另一个状态的概率称为转移概率，记作$p_{ij} = P(X_{n+1} = j | X_n = i)$。
对于有限状态的马尔可夫链，所有转移概率可以组成一个转移矩阵$M = [p_{ij}]_{m \times m}$，满足：
$$ \sum_{j=1}^{m} p_{ij} = 1 \quad (i = 1, 2, ..., m) $$
即矩阵每一行元素之和为1。
2.3 状态分布与 Chapman-Kolmogorov 方程¶
随机过程$\{X_n\}$在时刻$n$的状态分布为$\pi_n = (\pi_{n1}, \pi_{n2}, ..., \pi_{nm})$，其中$\pi_{ni}$表示在时刻$n$处于状态$i$的概率。
状态分布的演化遵循Chapman-Kolmogorov方程：
$$ \pi_{n+1} = \pi_n M $$
进而可得：
$$
\pi_{n+k} = \pi_n M^k
$$
2.4 马尔可夫链的分类与极限性质¶
状态分类¶
- 常返态：从该状态出发，以概率1返回该状态
- 瞬过态：从该状态出发，有一定概率不再返回
- 正常返态：平均返回时间有限
- 零常返态：平均返回时间无限
极限性质¶
对于不可约、非周期的有限状态马尔可夫链，不论初始分布如何，当时间$n \to \infty$时，状态分布收敛于唯一的平稳分布$\pi^*$，满足：
$$ \pi^* = \pi^* M $$
这意味着$\pi^*$是转移矩阵$M$对应于特征值1的左特征向量。
三、PageRank算法原理¶
3.1 PageRank的基本思想¶
在互联网环境中，可以将每个网页视为一个节点，网页间的超链接视为有向边，这样整个互联网就构成了一个巨大的有向图。
PageRank的基本假设是：
1. 一个网页被越多网页链接，它就越重要
2. 一个重要的网页的链接比不重要的网页的链接更有价值
形式化地，假设有$n$个网页，第$i$个网页的PageRank值为$r_i$，则有：
$$ r_i = \sum_{j \in B_i} \frac{r_j}{L(j)} $$
其中$B_i$是链接到网页$i$的所有网页集合，$L(j)$是网页$j$的出链数量。
3.2 PageRank的数学模型¶
上述基本模型存在两个问题：
1. 存在没有出链的网页（悬挂网页）
2. 存在相互链接的网页形成孤立子图
为解决这些问题，引入了"随机跳转"机制。修改后的PageRank公式为：
$$ r_i = \frac{1-d}{n} + d \sum_{j \in B_i} \frac{r_j}{L(j)} $$
其中$d$是阻尼因子（通常取值为0.85），表示用户继续点击链接的概率，而$1-d$表示用户随机跳转到任意网页的概率。
3.3 矩阵形式的PageRank¶
将PageRank公式写成矩阵形式。定义：
- $\mathbf{r}$：PageRank向量，$\mathbf{r} = [r_1, r_2, ..., r_n]^T$
- $\mathbf{M}$：原始链接矩阵，$M_{ij} = \frac{1}{L(j)}$如果网页$j$链接到网页$i$，否则为0
- $\mathbf{A}$：考虑悬挂网页的修正矩阵
最终的PageRank方程为：
$$ \mathbf{r} = d \mathbf{A} \mathbf{r} + \frac{1-d}{n} \mathbf{1} $$
其中$\mathbf{1}$是全1向量。
这也可以写成：
$$ \mathbf{r} = \left(d \mathbf{A} + \frac{1-d}{n} \mathbf{E}\right) \mathbf{r} $$
其中$\mathbf{E}$是全1矩阵。
四、PageRank计算方法¶
4.1 幂法（Power Method）¶
由于PageRank向量是矩阵$\left(d \mathbf{A} + \frac{1-d}{n} \mathbf{E}\right)$对应于特征值1的特征向量，可以通过幂法来求解。
算法步骤：¶
- 初始化：设$\mathbf{r}^{(0)} = \frac{1}{n} \mathbf{1}$
- 迭代更新：对于$t = 0, 1, 2, \ldots$
$$ \mathbf{r}^{(t+1)} = d \mathbf{A} \mathbf{r}^{(t)} + \frac{1-d}{n} \mathbf{1} $$
- 收敛判断：当$\|\mathbf{r}^{(t+1)} - \mathbf{r}^{(t)}\| < \epsilon$时停止迭代（$\epsilon$为一个小正数，如$10^{-6}$）。
4.2 收敛性分析¶
根据Perron-Frobenius定理，对于正矩阵（所有元素为正），存在唯一的最大特征值（为正），对应的特征向量所有分量均为正。
在PageRank中，由于添加了随机跳转项$\frac{1-d}{n}$，使得原本可能不连通或周期性的马尔可夫链变为不可约、非周期的正矩阵，从而保证了：
1. 存在唯一的平稳分布
2. 幂法能够收敛到该分布
4.3 计算复杂度与优化¶
直接计算矩阵乘法的时间复杂度为$O(n^2)$，对于大规模网络不可行。实际应用中采用稀疏矩阵技术，只存储和计算非零元素，时间复杂度降为$O(L)$，其中$L$是链接总数。
五、PageRank的扩展与改进¶
5.1 Personalized PageRank¶
个性化PageRank允许为不同用户或主题定制不同的随机跳转概率分布：
$$ \mathbf{r} = d \mathbf{A} \mathbf{r} + (1-d) \mathbf{v} $$
其中$\mathbf{v}$是个性化的跳转向量。
5.2 Topic-Sensitive PageRank¶
针对不同主题分别计算PageRank值，提高搜索结果的相关性。
参考文献¶
[1] PageRank Algorithm - Stanford University
[2] The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web
[3] Markov Chains and Mixing Times
注：本文使用Qwen转换自本人的统计学习方法笔记。
